fat tony vs dr. john

Διαβάζω το The Black Swan του N. N. Taleb, και μου τράβηξε την προσοχή το παρακάτω σημείο:

Έχει δύο φανταστικούς ήρωες, το Χοντρό Τόνυ, και τον Δρ. Τζον, ο ένας πρακτικός, του δρόμου, και ο άλλος τακτικός, επιστήμονας, και τους θέτει το εξής πρόβλημα:

Έστω ένα τίμιο νόμισμα. Ένα νόμισμα που ξέρουμε ότι έχει 50-50 πιθανότητες να έρθει κορώνα ή γράμματα αν το τρίψουμε. Το στρίβουμε 99 φορές και φέρνει και τις 99 κορώνα. Ρωτάμε τους δύο ήρωες μας ποια η πιθανότητα να φέρει την εκατοστή φορά που θα το στρίψουμε κορώνα.

Ο Δρ. Τζον, απαντάει ότι εφόσον το νόμισμα είναι τίμιο, και τα στριψίματα ανεξάρτητα μεταξύ τους, το νόμισμα έχει πιθανότητα 50% και στην εκατοστή ριξιά να φέρει κορώνα.

Ο δεύτερος, ο Χοντρός Τόνυ, απαντάει, "μεγάλε, αν μετά από 99 κορώνες εξακολουθείς να πιστεύεις ότι το νόμισμα είναι τίμιο, είσαι αφελής."

russian roulette

Άκουγα στο ραδιόφωνο το Can't Take my Eyes of You (του Frankie Vallie όπως έμαθα αργότερα), και θυμήθηκα την ταινία "Ο Ελαφοκυνηγός" (The Deer Hunter, του Michael Cimino), και μου ήρθε στο μυαλό η σκηνή της Ρώσικης Ρουλέτας μεταξύ του Michael (De Niro) και του Nicky (Walken).

(Υπάρχουν διάφορες στο YouTube, αλλά προτιμώ αυτό το κλιπ)

Στη σκηνή, είναι και οι δύο κρατούμενοι των Βιετκονγκ, και τους αναγκάζουν να παίξουν Ρώσικη ρουλέτα μεταξύ τους με ένα εξάσφαιρο revolver μέχρι ένας από τους δύο να πεθάνει (ενώ αυτοί, οι Βιετκονγκ, βάζουν μεταξύ τους στοιχήματα).

Στη θεωρία, αν έχεις μία σφαίρα μέσα στον μύλο του revolver (αγνοώντας τυχόν κατασκευαστικές ατέλειες), η πιθανότητα να πετύχεις τη σφαίρα είναι μία στις έξι. Αν επαναλάβεις τη διαδικασία (βάζω μία σφαίρα, περιστρέφω τον μύλο του όπλου, και τον κλείνω στην τύχη) χίλιες φορές,  το θύμα σου (αυτός που κρατάει το όπλο και πυροβολεί τον κρόταφο του) θα σου πεθάνει το ένα έκτο από αυτές (1000/6 = 167 φορές περίπου).

Το ερώτημα είναι, αν βάλεις τρεις σφαίρες στο όπλο, σε γειτονικές θαλάμες (τρεις συνεχόμενες σφαίρες), και παίξεις το ίδιο παιχνίδι (περιστρέφεις τον μύλο, τον κλείνεις, και πυροβολείς συνεχώς, όπως φαίνεται να κάνουν στην ταινία), τι πιθανότητες έχει ο δεύτερος παίχτης (ο De Niro) να την γλιτώσει; (στο δεύτερο συνεχόμενο πάτημα της σκανδάλης);

Φωτογραφίες μύλων εξάσφαιρων revolver (για αυτούς που δεν έχουν ξαναδεί ρεβόλβερ):
Google Image Search, revolver cylinder

εξηγήσεις σχετικά με τους κύκλους

Νομίζω δεν ήταν αρκετά σαφής η διατύπωση του προηγούμενου προβλήματος, στο ότι μετά την πρόσθεση ενός μέτρου στα σχοινιά γύρω από τη γη και την μπάλα, το νέο σχοινί που προκύπτει παραμένει και αυτό τέλειος κύκλος, με ίδιο κέντρο, και ισαπέχει από κάθε σημείο της μπάλας (και της γης) όπως περίπου φαίνεται στο σχήμα παρακάτω.

Αυτή τη φορά θα χρησιμοποιήσω μεγαλύτερη ακρίβεια στις πράξεις, για να γίνω πιο σαφής. (μπορείτε να επαναλάβετε τους υπολογισμούς σε ένα φύλλο excel (που θεωρώ ότι το έχουν όλοι εγκατεστημένο στον υπολογιστή τους, ακόμη και τα ψώνια που έχουν linux :-)))

Λίγα μαθηματικά: αν ξέρεις την ακτίνα ενός κύκλου, για να βρεις την περιφέρεια, πολλαπλασιάζεις με 6.283 (για αυτούς που έχουν παρελθόν στα μαθηματικά, καταραμένοι να 'ναι, το 6.283 είναι προσέγγιση του 2π). Άρα η μπάλα ποδοσφαίρου που έχει ακτίνα 11cm έχει περίμετρο (περιφέρεια) 69.113cm, ενώ η γη που έχει ακτίνα στον ισημερινό περίπου 6378km, έχει περίμετρο περίπου 40072.974km.

Το ανάποδο ισχύει: αν σας δώσω την περιφέρεια ενός κύκλου, για να βρείτε την ακτίνα, θα διαιρέσετε με το 6.283.

Άρα στο πρόβλημα μας, αν η περιφέρεια του κύκλου γίνει 169.113cm η ακτίνα θα γίνει 26.91596371cm, διαφορά περίπου πάλι σε σχέση με την αρχική ακτίνα ~16cm, ενώ στη γη, αν η
περίμετρος γίνει 40072.975km, η ακτίνα θα γίνει 6378.000159km δηλαδή και πάλι περίπου ~16cm διαφορά...

Και νομίζω ότι μέσα από χώρο πλάτους 16cm, χωράει να περάσει κάθε γάτα...

Το θέμα στο προηγούμενο πρόβλημα, είναι ότι είναι ενάντια στη δική μου αντίληψη. Πως γίνεται σε δύο τόσο διαφορετικούς "κύκλους" να ισαπέχει το νέο σχοινί από την περιφέρεια;

Όπως υποστηρίζει ο Παναγιώτης (που μου έθεσε και το πρόβλημα), μάλλον έχει να κάνει με την κατασκευή του εγκεφάλου, και την ικανότητα του να ξεγελάει τον εαυτό του (προτείνω (και ο Παναγιώτης) μερικές ομιλίες του Dan Ariely, όπως αυτή εδώ σε κάποιο TED Conference)

κύκλοι

Έστω μια μπάλα ποδοσφαίρου. Που απ' όσο διαβάζω στα internets έχει ακτίνα περίπου 11cm με αποτέλεσμα η περιφέρεια της να φτάνει τα 70cm. Έστω τώρα και η Γη, που αν και δεν είναι τέλεια σφαίρα, ας πούμε ότι είναι. Θεωρούμε ότι η γη έχει ακτίνα περί τα 6378km, και περιφέρεια περί τα 40074km στον ισημερινό (οι πληροφορίες από τα άρθρα για τις μπάλες ποδοσφαίρου και την Γη στη wikipedia).

Ας πούμε τώρα ότι παίρνουμε ένα κομμάτι σχοινί και το τυλίγουμε γύρω από την μπάλα ποδοσφαίρου, και ένα ακόμη και το τυλίγουμε γύρω από τη Γη. Θα έχουν τα μήκη της περιφέρειας της μπάλας (70cm) και το μήκος της περιφέρειας της Γης (40074km).

Παίρνουμε τώρα ένα μέτρο ακόμη σχοινί και το προσθέτουμε στο σχοινί της μπάλας (με αποτέλεσμα να έχουμε 1.70cm σχοινί γύρω από την μπάλα) και κάνουμε το ίδιο για το σχοινί γύρω από τη Γη (με αποτέλεσμα να έχουμε 40074.001km περιφέρεια).

Το ερώτημα είναι, με την προϋπόθεση ότι το σχοινί παραμένει τεντωμένο σε κύκλο γύρω από την μπάλα (και τη Γη) σε ποια από τις δύο περιπτώσεις υπάρχει χώρος να περάσει από κάτω (μεταξύ μπάλας και σχοινιού και μεταξύ Γης και σχοινιού) μια συνηθισμένη γάτα;