Wednesday, September 24, 2008

the monty hall problem

Όλα αυτά που ακολουθούν έχουν ξαναγραφτεί πολλές φορές, σε πολλά blogs και forums, και έχουν αναλυθεί σε ταινίες, και υπάρχουν και σχετικά video στο youtube, αλλά εγώ δεν ξαναέχω ασχοληθεί μαζί τους, οπότε ορίστε:

Απ΄ ότι μαθαίνω, αυτό το παλιό τηλεπαιχνίδι με όνομα Το Μεγάλο Παζάρι που ο παρουσιαστής κάποια στιγμή σου πρότεινε να διαλέξεις μία από τρεις πόρτες, όπου στην μία υπήρχε ένα αυτοκίνητο και στις άλλες δύο ένα zonk (κάτι ευτελούς αξίας), ήταν παραλλαγή του αμερικάνικου Let's make a deal, που παρουσίαζε κάποιος κύριος Monty Hall.

Η ακριβής διαδικασία ήταν η εξής: Υπάρχουν τρεις πόρτες, η μία κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίχτης διαλέγει μία πόρτα στην τύχη. Ο παρουσιαστής τότε, του αποκαλύπτει τα περιεχόμενα μίας από τις άλλες δύο πόρτες, και πάντα αυτή η πόρτα έχει πίσω της ένα zonk. Αμέσως μετά ο παρουσιαστής προσφέρει στον παίκτη την δυνατότητα να αλλάξει την επιλογή πόρτας που έχει κάνει, και αντί για την αρχική πόρτα που είχε διαλέξει, να διαλέξει την πόρτα που απέμεινε κλειστή.

Και το ερώτημα που κάνει ενδιαφέρον το όλο θέμα είναι: Ποια είναι η βέλτιστη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο παίχτης; Είναι πιο συμφέρον να αλλάζει πάντα, είναι πιο συμφέρον να μένει πάντα με την αρχική του επιλογή, ή δεν έχει καμιά σημασία τι θα κάνει;

Ξαναδιατυπώνω: Αν ο παίχτης είχε να παίξει αυτό το παιχνίδι με τον παρουσιαστή εκατό φορές (ή χίλιες φορές), με πια στρατηγική θα κέρδιζε τα περισσότερα αυτοκίνητα; Αν άλλαζε κάθε φορά πόρτα, αν επέμενε πάντα στην αρχική του επιλογή, ή ό,τι και να έκανε δεν θα είχε διαφορά στο πόσα τελικά αυτοκίνητα θα κέρδιζε.

Η δεύτερη διατύπωση έχει το πλεονέκτημα ότι μπορείτε εύκολα να την δοκιμάσετε. Το μόνο που χρειάζεστε είναι τρεις πόρτες, ένα αυτοκίνητο και έναν φίλο να κάνει τον παρουσιαστή. Ή τρία τραπουλόχαρτα εκ των οποίων το ένα θα παριστάνει το αυτοκίνητο (πχ ένας άσσος μπαστούνι) και δύο που θα παριστάνουν τα zonk (πχ ένα έξι και ένα εφτά καρό). Ζητήστε από τον φίλο να παίξει μαζί σας το παιχνίδι, διαλέξτε μια στρατηγική, και μετρήστε πόσες φορές κερδίσατε.

Θα φτάσετε έτσι σε ένα εμπειρικό συμπέρασμα. Το ζητούμενο είναι να προβλέψουμε το αποτέλεσμα χωρίς να κάνουμε πείραμα. Αναλυτικά.

7 comments:

Λύσιππος said...

Αρχικά ο παίκτης έχει 33% πιθανότητα να βρει το αυτοκίνητο. Στη συνέχεια, αφού αποκαλυφθεί η μία από τις άλλες πόρτες με το "ζονκ" έχει 50% πιθανότητα να έχει επιλέξει το αυτοκίνητο και 50% να λάβει το "ζονκ" επιλέγοντας την άλλη πόρτα.

Zafiris Keramidas said...

Η πρώτη επιλογή έχει πιθανότητες 33% να είναι σωστή. Αρα οι υπόλοιπες 2 πόρτες, μαζί, έχουν 67%. Από τις 2 αυτές πόρτες ο καλός παρουσιαστής σου "λέει" ποιά είναι η λάθος... Ετσι μένει 1 με πιθανότητες 67% να έχει το αυτοκίνητο. Τη διαλέγεις ή δεν τη διαλέγεις;

Faidra said...

Nomizew oti to syzhthsame to thema otan hrtha, alla akoma den katalabainw thn logikh tou na allaxeis thn epilogh ths portas (as suggested in the movie "21"...)MA GIATI GIATRE MOY?

tsonix said...

Iparxei 'asafeia' stin diatiposi. (vlepe wikipedia) An o parousiastis PANTA tha anigei mia porta me to zong, tote einai 50-50 kai den exei noima na allakseis.

mouridis said...

Το "παράδοξο" είναι πολύ καλό και είναι από τους πρώτους γρίφους που είχαμε βάλει στο YouReka.

@tsonix: Έχεις λάθος. Ίσα-ίσα, εφόσον ο παρουσιαστής δείχνει πάντα μια πόρτα με Ζονκ, το να αλλάξεις επιλογή αποκτά νόημα.

Anonymous said...

Οι πιθανότητες θα ήταν 50-50 μόνο αν ο παρουσιαστής πρώτα σου άνοιγε μια πόρτα με zonk και μετά σου έλεγε να επιλέξεις. Για την καλύτερη κατανόηση του παραδόξου απλά σκεφτείτε το με τις 1000000 πόρτες. Αν λοιπόν οι πόρτες είναι 1.000.000 και από αυτές οι 999999 είναι zonk και η 1 έχει το αυτοκίνητο το πρόβλημα φαίνεται πολύ πιο ξεκάθαρο. Ο παρουσιαστής σου λέει να επιλέξεις (και σχεδόν σίγουρα επέλεξες zonk) και έπειτα σου ανοίγει 999998 zonk. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση σε συμφέρει να αλλάξεις, αφού από τις δύο πόρτες που έμειναν αυτή που επέλεξες αρχικά ήταν zonk. Ανάλογη είναι και η περίπτωση με τις τρεις πόρτες απλά τότε οι πιθανότητες παίζουν 33-66%.

rounick said...

Απλά :
Αν η πρώτη σου επιλογή ήταν ¨ΖΟΝΚ¨,τότε αλλάζοντας-και αφού έχει ανοίξει το άλλο "ΖΟΝΚ"-έχεις σίγουρο το δώρο.
Και αφού οι πιθανότητες να έχεις κάνει λάθος στην πρώτη σου επιλογή είναι 66%,και σωστά 33%,συμφέρει να αλλάξεις.