Tι διαστάσεις σε εκατοστά έχει η εικόνα σε μια τηλεόραση 40 ιντσών αναλογίας πλευρών 16:9;
40 ίντσες είναι η διαγώνιος. Αν πάρεις μια μεζούρα ή μετροταινία και μετρήσεις από την κάτω αριστερή γωνία μέχρι την πάνω δεξιά γωνία, θα σου δείξει 40 ίντσες. Επειδή η μεζούρα μάλλον είναι βαθμολογημένη σε εκατοστά και όχι σε ίντσες, θα σου δείξει 101.6 εκατοστά.
Για να βρεις τα μήκη των πλευρών, θα χρειαστείς ανώτερα μαθηματικά (ανώτερα από την πρόσθεση και την διαίρεση δηλαδή), θα χρειαστείς το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό που λέει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών πατσίζει με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Στην περίπτωση μας, το τετράγωνο της διαγωνίου (101.62) θα πρέπει να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών.
Ας βαφτίσουμε την πλευρά της εικόνας που είναι παράλληλη με το τραπεζάκι που στέκεται η τηλεόραση "πλευρά α" και την άλλη (που είναι κατακόρυφη στο τραπεζάκι) "πλευρά β".
Ο θείος Πυθαγόρας λέει τότε ότι "πλευρά α"2 + "πλευρά β"2 = 101.62
Έχουμε δύο πράγματα που δεν ξέρουμε (τις πλευρές) και μόνο μία σχέση που τα περιγράφει. Θα χρειαστούμε άλλη μία.
Ξέρουμε ότι η τηλεόραση έχει αναλογία πλευρών 16 προς 9 (για όσους έμειναν δύο φορές στην τελευταία τάξη του γυμνασίου, αυτό σημαίνει ότι αν διαιρέσουμε τα μήκη των πλευρών το αποτέλεσμα θα είναι ίδιο με το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 16 με το 9).
Για να γίνω πιο τυπικός:
"πλευρά α" / "πλευρά β" = 16 / 9 = 1.777
(το επόμενο βήμα θέλει ψυχραιμία, θα λύσω ως προς "πλευρά α")
Άρα, η "πλευρά α" τελικά είναι ίση με 1.777 επί την "πλευρά β"
"πλευρά α" = 1.777 x "πλευρά β"
(το επόμενο βήμα θέλει ακόμη περισσότερη ψυχραιμία, θα αντικαταστήσω αυτό που βρήκα για την "πλευρά α" στην φόρμουλα του θείου Πυθαγόρα)
Αντικαθιστώντας, έχω:
(1.777 x "πλευρά β")2 + "πλευρά β"2 = 101.62
(θα κάνω τώρα μερικές τρομαχτικά δύσκολες πράξεις, όπως διαιρέσεις, εξαγωγή κοινού παράγοντα, ύψωση στο τετράγωνο, τετραγωνική ρίζα και άλλα τέτοια προχωρημένα, μην το δοκιμάσετε σπίτι, εγώ είμαι εκπαιδευμένος επαγγελματίας, κάνω πράξεις χρόνια, δεν κινδυνεύω να πληγωθώ)
Κοινός παράγοντας:
"πλευρά β"2 x (1.7772 + 1) = 101.62
Πράξεις:
"πλευρά β"2 x 4.1577 = 10322.56
Διαίρεση:
"πλευρά β"2 = 2482.757
Και τετραγωνική ρίζα:
"πλευρά β" = 49.827 cm, άντε πες 50 εκατοστά βαριά-βαριά.
Αντικαθιστώντας την τιμή της "πλευράς β" στην φόρμουλα με την αναλογία των πλευρών, παίρνουμε ότι
"πλευρά α" = 88.543 cm, άντε πες 90 εκατοστά βαριά-βαριά.
Δίδαγμα και κεντρική ιδέα, το πλαίσιο της εικόνας σε μια ευρεία τηλεόραση 40 ιντσών είναι περίπου 90 x 50 cm. Και εδώ ολοκληρώνεται το πρώτο μάθημα της σειράς "Η πρακτική εφαρμογή των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή". Στο επόμενο μάθημα θα μιλήσουμε για την Υποδομή Δημοσίου Κλειδιού.
(για περισσότερη διασκέδαση, γράψτε "40 inches" στο google και πατήστε "I'm feeling lucky")
Sunday, January 11, 2009
Sunday, December 21, 2008
hilti gx120
Δεν μπορώ να το προσδιορίσω ακριβώς (μάλλον τα πολλά χρόνια παιχνιδιών υπολογιστή, τανιών για το διάστημα και εξωγήινα εντομοειδή τέρατα), αλλά το εικονιζόμενο εργαλείο, στη βιτρίνα της αντιπροσωπίας της Hilti (στο κτίριο που δουλεύω καθημερινά), μου γεννάει ένα παράξενο συναίσθημα επιθυμίας και δύναμης, και μου φέρνει εικόνες γιγαντιαίων ρομπότ, εξωσκελετών και εκρήξεων...
Wednesday, December 17, 2008
tomb raider
Tomb raider , ο συλητής των τάφων, ο τυμβωρύχος (αυτός που ανοίγει τάφους για να κλέψει οτιδήποτε πολύτιμο περιέχουν). Προφέρεται "τουμ ρέ-ι-ντερ".
(Μετά από 17 διαφορετικά παιχνίδια με αυτό το όνομα, δύο ταινίες με την Angelina Jolie , comic books, cartoons, και τη Lara Croft να αποτελεί τυπική ονείρωξη για δεκάδες εφήβους, τον επόμενο που θα ακούσω να το προφέρει "τομπ ράιντερ", θα τον χτυπήσω στο κεφάλι με τον πρώτο από τους δύο τόμους του δερματόδετου Shorter Oxford English Dictionary)
Wednesday, October 15, 2008
Tuesday, September 30, 2008
the monty hall problem #3
Αν τελικά σας προσφέρουν την επιλογή, είναι στο συμφέρον σας να αλλάζετε πάντα πόρτα.
Όπως αναφέρθηκε, έχετε μία πιθανότητα στις τρεις να διαλέξετε το αυτοκίνητο. Αν μείνετε στην αρχική σας επιλογή, θα κερδίζετε το αυτοκίνητο κατά μέσο όρο μια φορά για κάθε τρία παιχνίδια που θα παίζετε.
Αν όμως, μόλις ο παρουσιαστής σας αποκαλύψει την πόρτα με το ένα zonk, διαλέξετε την πόρτα που έμεινε;
Δύο φορές στις τρεις η πόρτα θα περιέχει το αυτοκίνητο.
Αν αρχικά η πόρτα που είχατε διαλέξει περιείχε το αυτοκίνητο, τότε αν αλλάξετε πόρτα, θα πετύχετε zonk. Αυτό θα συμβεί μια φορά στις τρεις.
Αν όμως η πόρτα που είχατε αρχικά διαλέξει περιείχε zonk, τότε αν αλλάξετε πόρτα θα πετύχετε σίγουρα αυτοκίνητο. Ένα zonk είχε η αρχική σας επιλογή, ένα σας αποκάλυψε ο παρουσιαστής, η πόρτα που παραμένει κλειστή περιέχει το αυτοκίνητο.
Αν η πόρτα που είχατε αρχικά διαλέξει περιείχε zonk (πράγμα που συμβαίνει δύο φορές στις τρεις), αλλάζοντας πάντα, θα πετυχαίνετε το αυτοκίνητο δύο φορές στις τρεις.
Ξαναλέω, κάντε το πείραμα (με ένα φίλο). Ζητήστε να σας ανακατέψει τρία χαρτιά, διαλέξτε ένα, ζητήστε να σας αποκαλύψει το zonk. Αλλάξτε την επιλογή σας. Επαναλάβετε. Μετρήστε πόσες φορές βρήκατε το αυτοκίνητο. Θα πρέπει να είναι περίπου τα δύο τρίτα των φορών που παίξατε το παιχνίδι. Αν δεν είναι, παίξτε παραπάνω φορές.
Όπως αναφέρθηκε, έχετε μία πιθανότητα στις τρεις να διαλέξετε το αυτοκίνητο. Αν μείνετε στην αρχική σας επιλογή, θα κερδίζετε το αυτοκίνητο κατά μέσο όρο μια φορά για κάθε τρία παιχνίδια που θα παίζετε.
Αν όμως, μόλις ο παρουσιαστής σας αποκαλύψει την πόρτα με το ένα zonk, διαλέξετε την πόρτα που έμεινε;
Δύο φορές στις τρεις η πόρτα θα περιέχει το αυτοκίνητο.
Αν αρχικά η πόρτα που είχατε διαλέξει περιείχε το αυτοκίνητο, τότε αν αλλάξετε πόρτα, θα πετύχετε zonk. Αυτό θα συμβεί μια φορά στις τρεις.
Αν όμως η πόρτα που είχατε αρχικά διαλέξει περιείχε zonk, τότε αν αλλάξετε πόρτα θα πετύχετε σίγουρα αυτοκίνητο. Ένα zonk είχε η αρχική σας επιλογή, ένα σας αποκάλυψε ο παρουσιαστής, η πόρτα που παραμένει κλειστή περιέχει το αυτοκίνητο.
Αν η πόρτα που είχατε αρχικά διαλέξει περιείχε zonk (πράγμα που συμβαίνει δύο φορές στις τρεις), αλλάζοντας πάντα, θα πετυχαίνετε το αυτοκίνητο δύο φορές στις τρεις.
Ξαναλέω, κάντε το πείραμα (με ένα φίλο). Ζητήστε να σας ανακατέψει τρία χαρτιά, διαλέξτε ένα, ζητήστε να σας αποκαλύψει το zonk. Αλλάξτε την επιλογή σας. Επαναλάβετε. Μετρήστε πόσες φορές βρήκατε το αυτοκίνητο. Θα πρέπει να είναι περίπου τα δύο τρίτα των φορών που παίξατε το παιχνίδι. Αν δεν είναι, παίξτε παραπάνω φορές.
η διαφορά
υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά στο πως αντιλαμβάνονται τον κόσμο οι φοιτητές που κοιτώντας τις βαθμολογίες τους αναφωνούν "με έκοψε..." από αυτούς που αναφωνούν "κόπηκα"...
the monty hall problem #2
Πως ξέρουμε ότι αν ρίξουμε ένα νόμισμα χίλιες φορές, θα έρθει γράμματα τις μισές περίπου από αυτές; Απλή παρατήρηση. Κάποια στιγμή, κάποιος έκανε ένα πείραμα. Πήρε ένα νόμισμα, και άρχισε να το ρίχνει ("στρίβει") κατ' εξακολούθηση. Και μέτρησε τις φορές που ήρθε γράμματα, και τις φορές που ήρθε κορώνα, και παρατήρησε ότι όσες πιο πολλές φορές το έριχνε, τόσο περισσότερο ο αριθμός των φορών που ήρθε γράμματα έτεινε να γίνει ίδιος με τον αριθμό των φορών που το νόμισμα ήρθε κορώνα.
Και από τότε, κάθε φορά που συμμετέχουμε σε ένα τέτοιο παιχνίδι με νόμισμα, περιμένουμε παρόμοια αποτελέσματα. Αν δεν τα δούμε, υποψιαζόμαστε ότι το νόμισμα είναι "στημένο" (πχ φέρνει πιο συχνά γράμματα απ' ότι κορώνα)
Στην περίπτωση του monty hall problem (αυτό με τις τρεις πόρτες που η μία κρύβει ένα δώρο) μπορούμε να κάνουμε παρόμοιο πείραμα. Δοκιμάστε το εξής (θα χρειαστείτε ένα φίλο για βοήθεια): πάρτε τρία τραπουλόχαρτα, πχ έναν άσο μπαστούνι, ένα έξι καρό και ένα εφτά καρό, και ζητήστε από το φίλο σας να τα ανακατέψει και να τα απλώσει πάνω στο τραπέζι κλειστά. Προσπαθήστε να μαντέψετε πιο είναι ο άσος. Σημειώστε πόσες φορές βρήκατε τον άσο σε σύνολο πόσων επαναλήψεων.
Θα ανακαλύψετε ότι όσες περισσότερες φορές παίξετε το παιχνίδι, τόσο το πλήθος των φορών που βρήκατε τον άσο θα πλησιάζει το 1/3 το φορών που παίξατε το παιχνίδι.
Φαίνεται λογικό, τρεις επιλογές, μία είναι η σωστή, μία φορά στις τρεις θα σας κάτσει.
Τρεις πόρτες, μία έχει το αυτοκίνητο, μία φορά στις τρεις θα το πετύχετε.
Η πιθανότητα να πετύχετε το αυτοκίνητο είναι μία στις τρεις.
Πίσω στο πρόβλημα του Monty Hall: Αν η πιθανότητα να διαλέξετε τη σωστή πόρτα την πρώτη φορά (πριν ο Monty σας αποκαλύψει μια πόρτα που πάντα περιέχει zonk) είναι μία στις τρεις, και εσείς, ό,τι και να σας δείξει ο Monty, διατηρείτε πάντα την αρχική επιλογή σας, γιατί να αλλάξουν οι πιθανότητες να βρείτε το αυτοκίνητο;
Αν δεν κάνετε κάτι εν όψει των νέων δεδομένων, οι πιθανότητες να βρείτε το αυτοκίνητο δεν παραμένουν ίδιες;
Ξανά: Αν η στρατηγική σας είναι να μείνετε στην αρχική σας επιλογή, που είχε αρχικά πιθανότητα να είναι σωστή μια φορά στις τρεις, πόσες φορές θα βρείτε το αυτοκίνητο;
Κάντε το πείραμα, και μετρήστε. Χωρίς πείραμα και μετρήσεις, τζάμπα επιχειρηματολογούμε.
Και από τότε, κάθε φορά που συμμετέχουμε σε ένα τέτοιο παιχνίδι με νόμισμα, περιμένουμε παρόμοια αποτελέσματα. Αν δεν τα δούμε, υποψιαζόμαστε ότι το νόμισμα είναι "στημένο" (πχ φέρνει πιο συχνά γράμματα απ' ότι κορώνα)
Στην περίπτωση του monty hall problem (αυτό με τις τρεις πόρτες που η μία κρύβει ένα δώρο) μπορούμε να κάνουμε παρόμοιο πείραμα. Δοκιμάστε το εξής (θα χρειαστείτε ένα φίλο για βοήθεια): πάρτε τρία τραπουλόχαρτα, πχ έναν άσο μπαστούνι, ένα έξι καρό και ένα εφτά καρό, και ζητήστε από το φίλο σας να τα ανακατέψει και να τα απλώσει πάνω στο τραπέζι κλειστά. Προσπαθήστε να μαντέψετε πιο είναι ο άσος. Σημειώστε πόσες φορές βρήκατε τον άσο σε σύνολο πόσων επαναλήψεων.
Θα ανακαλύψετε ότι όσες περισσότερες φορές παίξετε το παιχνίδι, τόσο το πλήθος των φορών που βρήκατε τον άσο θα πλησιάζει το 1/3 το φορών που παίξατε το παιχνίδι.
Φαίνεται λογικό, τρεις επιλογές, μία είναι η σωστή, μία φορά στις τρεις θα σας κάτσει.
Τρεις πόρτες, μία έχει το αυτοκίνητο, μία φορά στις τρεις θα το πετύχετε.
Η πιθανότητα να πετύχετε το αυτοκίνητο είναι μία στις τρεις.
Πίσω στο πρόβλημα του Monty Hall: Αν η πιθανότητα να διαλέξετε τη σωστή πόρτα την πρώτη φορά (πριν ο Monty σας αποκαλύψει μια πόρτα που πάντα περιέχει zonk) είναι μία στις τρεις, και εσείς, ό,τι και να σας δείξει ο Monty, διατηρείτε πάντα την αρχική επιλογή σας, γιατί να αλλάξουν οι πιθανότητες να βρείτε το αυτοκίνητο;
Αν δεν κάνετε κάτι εν όψει των νέων δεδομένων, οι πιθανότητες να βρείτε το αυτοκίνητο δεν παραμένουν ίδιες;
Ξανά: Αν η στρατηγική σας είναι να μείνετε στην αρχική σας επιλογή, που είχε αρχικά πιθανότητα να είναι σωστή μια φορά στις τρεις, πόσες φορές θα βρείτε το αυτοκίνητο;
Κάντε το πείραμα, και μετρήστε. Χωρίς πείραμα και μετρήσεις, τζάμπα επιχειρηματολογούμε.
Wednesday, September 24, 2008
the monty hall problem
Όλα αυτά που ακολουθούν έχουν ξαναγραφτεί πολλές φορές, σε πολλά blogs και forums, και έχουν αναλυθεί σε ταινίες, και υπάρχουν και σχετικά video στο youtube, αλλά εγώ δεν ξαναέχω ασχοληθεί μαζί τους, οπότε ορίστε:
Απ΄ ότι μαθαίνω, αυτό το παλιό τηλεπαιχνίδι με όνομα Το Μεγάλο Παζάρι που ο παρουσιαστής κάποια στιγμή σου πρότεινε να διαλέξεις μία από τρεις πόρτες, όπου στην μία υπήρχε ένα αυτοκίνητο και στις άλλες δύο ένα zonk (κάτι ευτελούς αξίας), ήταν παραλλαγή του αμερικάνικου Let's make a deal, που παρουσίαζε κάποιος κύριος Monty Hall.
Η ακριβής διαδικασία ήταν η εξής: Υπάρχουν τρεις πόρτες, η μία κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίχτης διαλέγει μία πόρτα στην τύχη. Ο παρουσιαστής τότε, του αποκαλύπτει τα περιεχόμενα μίας από τις άλλες δύο πόρτες, και πάντα αυτή η πόρτα έχει πίσω της ένα zonk. Αμέσως μετά ο παρουσιαστής προσφέρει στον παίκτη την δυνατότητα να αλλάξει την επιλογή πόρτας που έχει κάνει, και αντί για την αρχική πόρτα που είχε διαλέξει, να διαλέξει την πόρτα που απέμεινε κλειστή.
Και το ερώτημα που κάνει ενδιαφέρον το όλο θέμα είναι: Ποια είναι η βέλτιστη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο παίχτης; Είναι πιο συμφέρον να αλλάζει πάντα, είναι πιο συμφέρον να μένει πάντα με την αρχική του επιλογή, ή δεν έχει καμιά σημασία τι θα κάνει;
Ξαναδιατυπώνω: Αν ο παίχτης είχε να παίξει αυτό το παιχνίδι με τον παρουσιαστή εκατό φορές (ή χίλιες φορές), με πια στρατηγική θα κέρδιζε τα περισσότερα αυτοκίνητα; Αν άλλαζε κάθε φορά πόρτα, αν επέμενε πάντα στην αρχική του επιλογή, ή ό,τι και να έκανε δεν θα είχε διαφορά στο πόσα τελικά αυτοκίνητα θα κέρδιζε.
Η δεύτερη διατύπωση έχει το πλεονέκτημα ότι μπορείτε εύκολα να την δοκιμάσετε. Το μόνο που χρειάζεστε είναι τρεις πόρτες, ένα αυτοκίνητο και έναν φίλο να κάνει τον παρουσιαστή. Ή τρία τραπουλόχαρτα εκ των οποίων το ένα θα παριστάνει το αυτοκίνητο (πχ ένας άσσος μπαστούνι) και δύο που θα παριστάνουν τα zonk (πχ ένα έξι και ένα εφτά καρό). Ζητήστε από τον φίλο να παίξει μαζί σας το παιχνίδι, διαλέξτε μια στρατηγική, και μετρήστε πόσες φορές κερδίσατε.
Θα φτάσετε έτσι σε ένα εμπειρικό συμπέρασμα. Το ζητούμενο είναι να προβλέψουμε το αποτέλεσμα χωρίς να κάνουμε πείραμα. Αναλυτικά.
Απ΄ ότι μαθαίνω, αυτό το παλιό τηλεπαιχνίδι με όνομα Το Μεγάλο Παζάρι που ο παρουσιαστής κάποια στιγμή σου πρότεινε να διαλέξεις μία από τρεις πόρτες, όπου στην μία υπήρχε ένα αυτοκίνητο και στις άλλες δύο ένα zonk (κάτι ευτελούς αξίας), ήταν παραλλαγή του αμερικάνικου Let's make a deal, που παρουσίαζε κάποιος κύριος Monty Hall.
Η ακριβής διαδικασία ήταν η εξής: Υπάρχουν τρεις πόρτες, η μία κρύβει το αυτοκίνητο. Ο παίχτης διαλέγει μία πόρτα στην τύχη. Ο παρουσιαστής τότε, του αποκαλύπτει τα περιεχόμενα μίας από τις άλλες δύο πόρτες, και πάντα αυτή η πόρτα έχει πίσω της ένα zonk. Αμέσως μετά ο παρουσιαστής προσφέρει στον παίκτη την δυνατότητα να αλλάξει την επιλογή πόρτας που έχει κάνει, και αντί για την αρχική πόρτα που είχε διαλέξει, να διαλέξει την πόρτα που απέμεινε κλειστή.
Και το ερώτημα που κάνει ενδιαφέρον το όλο θέμα είναι: Ποια είναι η βέλτιστη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο παίχτης; Είναι πιο συμφέρον να αλλάζει πάντα, είναι πιο συμφέρον να μένει πάντα με την αρχική του επιλογή, ή δεν έχει καμιά σημασία τι θα κάνει;
Ξαναδιατυπώνω: Αν ο παίχτης είχε να παίξει αυτό το παιχνίδι με τον παρουσιαστή εκατό φορές (ή χίλιες φορές), με πια στρατηγική θα κέρδιζε τα περισσότερα αυτοκίνητα; Αν άλλαζε κάθε φορά πόρτα, αν επέμενε πάντα στην αρχική του επιλογή, ή ό,τι και να έκανε δεν θα είχε διαφορά στο πόσα τελικά αυτοκίνητα θα κέρδιζε.
Η δεύτερη διατύπωση έχει το πλεονέκτημα ότι μπορείτε εύκολα να την δοκιμάσετε. Το μόνο που χρειάζεστε είναι τρεις πόρτες, ένα αυτοκίνητο και έναν φίλο να κάνει τον παρουσιαστή. Ή τρία τραπουλόχαρτα εκ των οποίων το ένα θα παριστάνει το αυτοκίνητο (πχ ένας άσσος μπαστούνι) και δύο που θα παριστάνουν τα zonk (πχ ένα έξι και ένα εφτά καρό). Ζητήστε από τον φίλο να παίξει μαζί σας το παιχνίδι, διαλέξτε μια στρατηγική, και μετρήστε πόσες φορές κερδίσατε.
Θα φτάσετε έτσι σε ένα εμπειρικό συμπέρασμα. Το ζητούμενο είναι να προβλέψουμε το αποτέλεσμα χωρίς να κάνουμε πείραμα. Αναλυτικά.
Sunday, September 21, 2008
στοχαστικός
Φαντεζί λέξη που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί για να εντυπωσιάσουν τους ξένους (όλους τους άλλους που δεν είναι μαθηματικοί). Στο πλαίσιο των μαθηματικών, στοχαστικός είναι ο μη-ντετερμινιστικός, αυτός που περιέχει τυχαιότητα, αυτός για τον οποίο δεν είμαστε σίγουροι, αυτός που δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα.
Subscribe to:
Posts (Atom)